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El infinito abreviado 27 diciembre 2010

Posted by José Ignacio Merino in Matemáticas.
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Hoy me aventuro de hablar de un tema apasionante: el infinito. No pretendo dar una larga charla, sino una pequeña introducción para que entiendas algo mejor el concepto de infinito.

Por definición, infinito el algo que no tiene fin. Un ejemplo más claro de infinito son los números: 1, 2, 3, 4, 5, … Puedo seguir contando hasta aburrirme y no llega un momento en que los números se acaben: siempre puedo seguir añadiendo un número más.

Pero profundicemos un poco más sobre ese concepto. Tomemos los números naturales (1, 2, 3, 4, …). Claramente son infinitos. Por otro lado tenemos los números pares (2, 4, 6, 8, …). También podemos decir que son infinitos. Visto así ¿podrías decirme cuál de los 2 conjuntos tiene más elementos?

La respuesta obvia sería los números naturales porque incluye a los pares más otro conjunto también infinito que son los números impares. No obstante con el infinito lo obvio no siempre es lo correcto.

Para averiguar cuál  es más grande, usemos el truco del emparejamiento. Imaginemos que estamos en una fiesta donde hay hombres y mujeres. Si quisiésemos averiguar si hay más hombres que mujeres (o viceversa) podríamos contarlos por separado. Pero para hacerlo tendría que hacerlo uno a uno y si hay mucha gente en la fiesta eso podría llegar a ser muy engorroso.

Existe un atajo que es pedir que cada mujer escoja a un hombre. Al finalizar el emparejamiento sólo tendríamos que ver si hay algún hombre o alguna mujer solos. Pues exactamente esta es la estrategia que vamos a usar para saber si hay más números naturales que pares: emparejarlos.

Para ello emparejemos cada número natural por el doble. Es decir, al número 1 de los números enteros, le corresponde el número 1*2=2 de los números pares. Al número 2 lo emparejamos con el 2*2 = 4, al número 3 con el 3*2 = 6, …

De esta forma queda así

Naturales 1 2 3 4 5 6 7 N
Pares 2 4 6 8 10 12 14 2N

Es decir, cada número de los números naturales (1, 2, 3, 4, …, N) queda emparejado con cada número del conjunto de los números pares (2, 4, 6, 8, …, 2N). Al hacer esto no sobra absolutamente ningún número ni en un conjunto ni en otro y todos quedan perfectamente emparejados con lo que podemos afirmar que ambos conjuntos tienen exactamente el mismo número de elementos: infinitos. ¿No era el todo mayor que una de sus partes? Pues cuando tratamos con el infinito parece ser que no.

Una vez visto esto cabría preguntarse si existe algún infinito “más grande que otro”. Nuestro primer intento ha fallado estrepitosamente. Creíamos que había más números naturales que números pares, pero no ha sido así. De hecho esto nos lleva a una curiosa paradoja: el hotel infinito.

Imagina que tenemos un hotel con infinitas habitaciones. El hotel está al completo: tiene alojados infinitos huéspedes. Pero de repente llega un viajante que pide una habitación. El chico de la entrada le dice que es imposible, que el hotel está al completo. El viajante se queja y le responde que siempre que ha llegado ha tenido habitación y que quiere ver al director. Al llegar éste corrige al chico y le dice que “siempre hay sitio para un huesped más”. ¿Cómo lo hace? Símplemente tiene que anunciar por megafonía que cada huesped de una habitación se mueva a la habitación siguiente. De esta forma quedará libre la primera habitación que será ocupada por el viajante.

¿Y si llegasen 100 viajantes a la vez? ¿Cabrían? Sí, simplemente tendría que anunciar por megafonía 100 veces que cada huesped se moviese a la siguiente habitación.

¿Y si llegasen infinitos viajantes a la vez? Pues el anuncio por megafonía sería que cada huesped se moviese a la habitación resultante de multiplicar por 2 su número de habitación actual. Así todos los huéspedes actuales quedarían alojados en las habitaciones pares y las impares quedarían libres para los nuevos. Es decir, exactamente igual que hemos hecho en el caso del emparejamiento entre los números naturales y los pares.

Bien retomemos la pregunta anterior porque es bastante interesante: ¿Existe algún conjunto infinito “más grande que otro”? Como dije hemos fallado al comparar los números naturales con los números pares. Si comparásemos los naturales (1, 2, 3, …) con los enteros (…,-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …) tendríamos también el mismo resultado haciendo el siguiente emparejamiento: Los números pares los emparejamos con el su mitad (el 2 con el 1, el 4 con el 2, …) y los impares con su mitad redondeada hacia abajo y cambiada de signo (el 1 con el 0, el 3 con el -1, el 5 con el -2, …). De esta forma logramos emparejar un conjunto con otro.

Naturales 1 2 3 4 5 6 7 8
Enteros 0 1 -1 2 -2 3 -3 4

Hemos vuelto a fallar. Pasemos directamente a comparar los números naturales con los racionales. Como sabrás, los racionales son aquellos números que se pueden expresar como fracción (2/3, 25/7, 9/2, 1/2, …). Son tantos que solamente entre 0 y 1 ya hay infinitos números racionales (1/2, 1/3, 1/4, 1/5, …). Ante esto cabría pensar que el combate va a ser muy desigual, porque al igual que ocurre entre 0 y 1, también hay infinitos racionales entre 1 y 2 o entre 2 y 3 o entre cualquiera 2 números naturales. No obstante sigo diciendo que cuando se habla de infinito lo obvio no es lo acertado.

Volvamos a la técnica del emparejamiento. Pero esta vez tengo que hacer parejas de una forma más astuta. Para ello empecemos primero escribiendo esta tabla:

1/1 1/2 1/3 1/4 1/5
2/1 2/2 2/3 2/4 2/5
3/1 3/2 3/3 3/4 3/5

Aquí tenemos representadas todas las fracciones posibles que existen. Incluso las hay que repiten el mismo número porque 2 = 2/1 = 4/2 = 8/4 = … Es decir, he logrado escribir en una tabla todos los posibles números racionales que existen.

Pues bien, hagamos el siguiente emparejamiento recorriendo las diagonales de la tabla empezando por parte superior izquierda y yendo de derecha a izquierda y de arriba a abajo de tal forma que quedarían estas parejas:

Naturales 1 2 3 4 5 6 7 8
Racionales 0 1/1 2/1 1/2 1/3 3/1 4/1 3/2

De esta forma lograría emparejar todos los números naturales con todos los números racionales positivos. Si quiero hacerlo con los positivos y los negativos emparejaría a cada número par con un positivo y a cada impar con su negativo de esta forma:

Naturales 1 2 3 4 5 6 7 8
Racionales 0 1/1 -1/1 2/1 -2/1 3/1 1/3 -1/3

Así pues existe el mismo número de elementos para el conjunto de los números naturales que para el de los racionales.

A todo conjunto que pueda emparejar con los números naturales se denomina “numerable” porque simplemente puedo contar (es decir, numerar) todos sus elementos De hecho se puede generalizar esto que estamos haciendo y decir que la unión de 2 conjuntos numerables también es numerable.

Pero ¿existen infinitos “más grandes” que el de los números naturales? La respuesta es sí. Son aquellos conjuntos llamados no-numerables. Por ejemplo, el conjunto de los números reales entre 0 y 1 es no-numerable. Sabrás que los números racionales no tienen infinitas cifras decimales. Por ejemplo 1/2 = 0.5. Y en caso que lo tengan es porque se repiten (1/3 = 0.33333333…). Los números irracionales son aquellos que sí que tienen infinitas cifras decimales sin que exista un patrón de repetición.

El conjunto de números racionales más irracionales forman los números reales y por ejemplo, el conjunto de números reales entre 0 y 1 es no-numerable. Por tanto ¡hemos encontrado un conjunto infinito de mayor rango que el de los números naturales!

Siempre han existido clases y clases. Y el infinito no es una excepción. De hecho hay distintos rangos de infinitos, siendo el más bajo de ello el infinito de los números naturales (y por tanto de cualquier conjunto numerable). A este rango de infinito se de denomina Alef 0.El siguiente infinito en rango es el de los números reales y se llama Alef 1. ¿Existen infinitos de mayor rango? Si, está Alef 2, Alef 3, Alef 4, …

Si ya Alef 0 (que son los números naturales) es ya gigantesco, Alef 1 (el de los números Reales es descomunal). Así que ya te puedes imaginar lo que representa Alef 2. Bueno, para que te hagas una idea imagina el conjunto de todos los conjuntos posibles de números reales. ¿Que te has perdido? Bueno, te los explico algo mejor: Imagina que tienes un conjunto de 3 elementos: a, b y c. El conjunto de todos los conjuntos posibles de esos 3 elementos sería el formado por los siguientes elementos:

* {} (es decir, el conjunto vacío que no contiene a ningún elemento)

* a

* b

* c

* {a,b}

* {b,c}

* {a,c}

* {a, b, c}

Como te dije: todas las posibles combinaciones del conjunto de esos 3 elementos: a, b, c.

Pues bien, se puede demostrar que el conjunto de todos los posibles conjuntos de un determinado Alef, tiene el rango inmediatamente superior. Así por ejemplo, si los números reales tienen el rango Alef 1, el conjunto de todos los posibles conjuntos de números reales tiene el rango Alef 2. Imagina todas las posibles combinaciones de números reales: en solitario, agrupados de 2 en 2, de 3 en 3, de 4 en 4, … Ese es Alef 2… Cuesta imaginarlo, ¿verdad? Pues si esto es así, te puedes hacer una idea de lo colosal que es Alef 3, el cual es dejado en pañales por Alef 4. Pero ni mucho menos acaba ahí. Podemos seguir con Alef 5, 6, 7 , … Estos conjuntos se denominan transfinitos, porque van más allá del infinito “estándar” que es el que conocemos (Alef 0).

Todo esto que he explicado se lo debamos al ingenio de un hombre: Gregor Cantor hace más o menos 1 siglo. De hecho fue tal el esfuerzo realizado que murió en una clínica debido a una crisis maniaco-depresiva provocada por el esfuerzo de teorizar esto que te he contado antes.

Realmente a mi me esto me parece maravilloso y revela la belleza que hay detrás de las matemáticas. ¿A ti no?

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Comentarios»

1. El infinito abreviado - 20 enero 2011

[…] El infinito abreviado latormentadeayer.wordpress.com/2010/12/27/el-infinito-abr…  por jimerino hace 2 segundos […]

2. sergio_r - 20 enero 2011

Si emparejamos el 1 con el 2 no puedo luego emparejar el 2 con el 4 por cuanto el 2 ya esta emparejado con el 1.

3. José Ignacio - 20 enero 2011

Sergio,

Imagina que tengo 2 cajas: Una tiene el 1, 2, 3, 4, … y la otra caja tiene el 2_, 4_, 6_, … (le pongo un _ detrás del número para indicar que son de la otra caja).

Ahora emparejo el 1 (de la primera caja) con el 2_ (de la otra caja), el 2 con el 4_, el 3 con el 6_, …

Como ves estoy emparejando elementos distintos.


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